Hier ist die Mathematik hinter diesen „unmöglichen“, sich nie wiederholenden Mustern

PrzemekMajewski/wikimedia

Erinnern Sie sich an das Millimeterpapier, das Sie in der Schule verwendet haben und das mit winzigen Quadraten bedeckt war?

Es ist die perfekte Veranschaulichung dessen, was Mathematiker als periodische Kachelung des Raums bezeichnen, wobei Formen einen gesamten Bereich ohne Überlappung oder Lücke abdecken.

Wenn wir das gesamte Muster um die Länge einer Kachel verschieben (übersetzen) oder um 90 Grad drehen, erhalten wir das gleiche Muster. Das liegt daran, dass in diesem Fall die gesamte Kachel die gleiche Symmetrie aufweist wie eine einzelne Kachel.

Aber stellen Sie sich vor, Sie würden ein Badezimmer mit Fünfecken statt mit Quadraten fliesen – das ist unmöglich, weil die Fünfecke nicht zusammenpassen, ohne Lücken zu hinterlassen oder einander zu überlappen.

Muster (bestehend aus Kacheln) und Kristalle (bestehend aus Atomen oder Molekülen) sind typischerweise periodisch wie ein Blatt Millimeterpapier und weisen entsprechende Symmetrien auf.

Von allen möglichen Anordnungen werden diese regelmäßigen Anordnungen naturgemäß bevorzugt, da sie mit dem geringsten Energieaufwand für deren Zusammenbau verbunden sind. Tatsächlich wissen wir erst seit einigen Jahrzehnten, dass nichtperiodische Kacheln, die sich nie wiederholende Muster erzeugen, in Kristallen existieren können.

Jetzt haben meine Kollegen und ich Ich habe ein Modell erstellt, das zum Verständnis beitragen kann wie sich das ausdrückt.

In den 1970er Jahren entdeckte der Physiker Roger Penrose, dass es möglich war, ein Muster aus zwei verschiedenen Formen mit den Winkeln und Seiten eines Fünfecks zu erstellen. Wenn Sie es um 72 Grad drehen, sieht es gleich aus. Wenn Sie es also um 360 Grad im Vollkreis drehen, sieht es aus fünf verschiedenen Winkeln gleich aus.

Wir sehen, dass sich in diesem Muster viele kleine Musterfelder viele Male wiederholen. In der folgenden Grafik wird beispielsweise der fünfzackige orangefarbene Stern immer wieder wiederholt.

Aber in jedem Fall sind diese Sterne von unterschiedlichen Formen umgeben, was bedeutet, dass sich das gesamte Muster in keiner Richtung wiederholt. Daher ist diese Grafik ein Beispiel für ein Muster, das Rotationssymmetrie, aber keine Translationssymmetrie aufweist.

Penrose-Fliesen. PrzemekMajewski

In drei Dimensionen wird es komplizierter. In den 1980er Jahren beobachtete Dan Schechtman eine Aluminium-Mangan-Legierung mit a nichtperiodisches Muster in alle Richtungen, die bei Drehung um den gleichen Winkel von 72 Grad noch Rotationssymmetrie hatten.

Bis dahin waren Kristalle, die keine Translationssymmetrie, aber Rotationssymmetrie besaßen, faktisch undenkbar – und viele Wissenschaftler glaubten dieses Ergebnis nicht. Tatsächlich war dies einer der seltenen Fälle, in denen die Definition von „W „Hut ist ein Kristall“ musste aufgrund einer neuen Entdeckung geändert werden. Dementsprechend werden diese Kristalle heute „Quasikristalle“ genannt.

Irrationale Zahl

Das sich nie wiederholende Muster eines Quasikristalls ergibt sich aus der irrationalen Zahl, die seiner Konstruktion zugrunde liegt. In einem regelmäßigen Fünfeck ist das Verhältnis der Seitenlänge des fünfzackigen Sterns, den Sie auf die Innenseite eines Fünfecks schreiben können, zur Seite des eigentlichen Fünfecks die berühmte irrationale Zahl „Phi“ (nicht zu verwechseln mit Pi). , also etwa 1,618.

Diese Nummer wird auch als bezeichnet Goldener Schnitt (und es erfüllt auch die Beziehung phi = 1+1/phi). Wenn also ein Quasikristall aus Kacheln aufgebaut wird, die von einem Fünfeck abgeleitet sind – wie die von Penrose verwendeten –, beobachten wir Rotationssymmetrie bei 72-Grad-Winkeln.

Quasikristalline Gitterstruktur. Autor bereitgestellt

Wir sehen diese fünfzählige Symmetrie sowohl im Bild des Quasikristalls als die zehn radialen Linien um den zentralen roten Punkt (oben) als auch im maßstabsgetreuen Modell des zentralen Teils des Quasikristalls, das mit erstellt wurde Zometool (unten).

Im Modell ist es hilfreich, sich vorzustellen, dass die weißen Kugeln die Orte sind, an denen wir die Partikel/Atome der Kristallstruktur finden würden, und dass die roten und gelben Stäbe Bindungen zwischen Partikeln anzeigen, die die Formen und Symmetrien der Struktur darstellen.

In unserer aktuellen Veröffentlichung haben wir die beiden Eigenschaften identifiziert, die ein System haben muss, um einen 3D-Quasikristall zu bilden. Das erste ist, dass im System Muster in zwei unterschiedlichen Größen (Längenskala) auftreten, die in einem geeigneten irrationalen Verhältnis (wie Phi) stehen.

Und zweitens, dass sich diese gegenseitig stark beeinflussen können. Zusätzlich zu den sich nie wiederholenden Quasikristallmustern kann dieses Modell auch andere beobachtete regelmäßige Kristallstrukturen wie Sechsecke, raumzentrierte Würfel usw. bilden.

Ein solches Modell ermöglicht es, den Wettbewerb zwischen all diesen verschiedenen Mustern zu untersuchen und die Bedingungen zu identifizieren, unter denen sich Quasikristalle in der Natur bilden.

Die Struktur eines Quasikristalls. Autor bereitgestellt

Die Mathematik, die dahinter steckt, wie solche sich nie wiederholenden Muster entstehen, ist sehr nützlich, um zu verstehen, wie sie entstehen, und sogar um sie mit spezifischen Eigenschaften zu entwerfen. Deshalb sind wir an der University of Leeds, zusammen mit Kollegen anderer Institutionen, von der Erforschung solcher Fragen fasziniert.

Diese Forschung ist jedoch nicht nur eine konzeptionelle mathematische Idee (obwohl die Mathematik dahinter süchtig macht) – sie ist vielversprechend für viele praktische Anwendungen, einschließlich einer sehr effizienten Umsetzung Quasikristalllaser . Dies liegt daran, dass bei der Verwendung periodischer Kristallmuster in einem Laser aufgrund der Symmetrie des sich wiederholenden Musters ein Laserstrahl mit geringer Leistung erzeugt wird.

Defekte im Kristallmuster oder alternativ die Verwendung eines sich nie wiederholenden Quasikristallmusters am Ausgangsende eines Lasers ermöglichen die Erzeugung eines effizienten Laserstrahls mit hoher Spitzenausgangsleistung.

Bei anderen Anwendungen erwägen einige Forscher sogar die reflektierenden Oberflächen, die Quasikristalle erzeugen könnten, wenn sie Haushaltsfarben zugesetzt werden.

Priya Subramanian , Wissenschaftlicher Mitarbeiter Angewandte Mathematik, Universität Leeds .

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