(Heidi Walley/Unsplash) Auf einer Ebene scheint Schach ein einfaches Spiel zu sein: 64 einzelne schwarze oder weiße Felder, 16 Figuren pro Seite und zwei Konkurrenten, die nach Eroberung streben.
Wenn man jedoch etwas tiefer geht, bietet das Spiel unglaublich komplexe Möglichkeiten und stellt Schachtheoretiker und Mathematiker vor Herausforderungen, die Jahrzehnte oder sogar Jahrhunderte lang ungelöst bleiben können.
Im Juli 2021 wurde eine dieser Herausforderungen endlich gelöst – zumindest bis zu einem gewissen Punkt. Der Mathematiker Michael Simkin von der Harvard University in Massachusetts hat es sich zum Ziel gesetzt das N-Damen-Problem Das gibt Experten seit seiner ersten Vorstellung in den 1840er Jahren Rätsel auf.
Wenn Sie sich mit Schach auskennen, wissen Sie, dass die Dame die stärkste Figur auf dem Brett ist und beliebig viele Felder in jede Richtung bewegen kann. Das N-Damen-Problem stellt folgende Frage: Wie viele Anordnungen sind bei einer bestimmten Anzahl von Königinnen (n) möglich, bei denen die Königinnen weit genug voneinander entfernt sind, sodass keine von ihnen eine der anderen nehmen kann?
Für acht Damen auf einem Standard-8 x 8-Brett lautet die Antwort 92, obwohl es sich bei den meisten davon um gedrehte oder reflektierte Varianten von nur 12 Grundlösungen handelt.
Aber was ist mit 1.000 Damen auf einem Spielfeld mit den Maßen 1.000 x 1.000 Felder? Was ist mit einer Million Königinnen? Simkins ungefähre Lösung des Problems ist (0,143n) N – die Anzahl der Damen multipliziert mit 0,143, hoch n.
Was Ihnen bleibt, ist zwar nicht die genaue Antwort, aber sie kommt der Antwort am nächsten, die derzeit möglich ist. Bei einer Million Königinnen ergibt sich die Zahl als Zahl mit fünf Millionen Ziffern dahinter – daher werden wir sie hier nicht für Sie reproduzieren.
Es dauerte fast fünf Jahre, bis Simkin die Gleichung aufstellte, mit unterschiedlichen Ansätzen und Techniken und einigen Hindernissen auf dem Weg zu einer Lösung. Letztendlich konnte der Mathematiker die Unter- und Obergrenzen möglicher Lösungen mit verschiedenen Methoden berechnen und stellte fest, dass sie nahezu übereinstimmten.
„Wenn Sie mir sagen würden, dass ich möchte, dass Sie Ihre Damen auf die eine oder andere Weise auf dem Brett platzieren, dann könnte ich den Algorithmus analysieren und Ihnen sagen, wie viele Lösungen es gibt, die dieser Einschränkung entsprechen.“ sagt Simkin .
„Formal gesehen reduziert es das Problem auf ein Optimierungsproblem.“
Schon früh, Simkin und sein Kollege Zur Luria an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich zusammengearbeitet über eine Variation des N-Damen-Problems, bekannt als Torodial- oder Modulproblem. In diesem Fall umschließen die Diagonalen das Spielfeld, sodass sich eine Dame beispielsweise diagonal vom rechten Rand des Spielbretts entfernen und am linken Rand wieder auftauchen kann.
Dadurch erhält jede Dame eine Angriffssymmetrie, aber so funktioniert ein normales Schachbrett nicht: Eine Dame in der Ecke des Bretts hat nicht so viele Angriffswinkel wie eine in der Mitte.
Letztendlich das Paar Die Arbeit am Ringkernproblem ist ins Stocken geraten (obwohl sie einige Ergebnisse veröffentlichten), aber letztendlich hat Simkin einige der Früchte dieser Arbeit in seine endgültige Lösung übernommen.
Wenn die Bretter größer werden und die Anzahl der Damen zunimmt, zeigen die Untersuchungen, dass sich die Damen in den meisten zulässigen Konfigurationen tendenziell an den Seiten des Bretts versammeln und weniger Königinnen in der Mitte sind, wo sie Angriffen ausgesetzt sind. Dieses Wissen ermöglicht einen gewichteteren Ansatz.
Theoretisch sollte eine genauere Antwort auf das N-Königin-Rätsel möglich sein – aber Simkin hat uns näher gebracht als je zuvor und er gibt die Herausforderung gerne an jemand anderen weiter, der sie weiter erforscht.
„Ich denke, dass ich persönlich mit dem N-Damen-Problem für eine Weile fertig sein werde, nicht weil es nichts mehr damit zu tun hat, sondern einfach weil ich vom Schach geträumt habe und bereit bin, damit weiterzumachen.“ mein Leben,' sagt Simkin .
Simkins Artikel zur Lösung ist auf dem Preprint-Server verfügbar arXiv .