Die Tontafel, Si.427. (UNSW Sydney) Ein altes Fragment einer Tontafel aus der altbabylonischen Zeit vor 3.700 Jahren enthält das heute älteste bekannte Beispiel angewandter Geometrie, wie ein Mathematiker entdeckt hat. Das ist mehr als ein Jahrtausend vor der Geburt von Pythagoras.
Und dieses geschichtsverändernde Artefakt, bekannt als Si.427, befand sich seit mehr als 100 Jahren in einem Museum in Istanbul.
„Si.427 stammt aus der altbabylonischen (OB) Zeit – 1900 bis 1600 v. Chr.“ sagte der Mathematiker Daniel Mansfield der University of New South Wales (UNSW) in Australien.
„Es ist das einzige bekannte Beispiel eines Katasterdokuments aus der OB-Zeit, bei dem es sich um einen Plan handelt, der von Vermessern zur Festlegung von Landgrenzen verwendet wird.“ In diesem Fall erfahren wir rechtliche und geometrische Details über ein Feld, das nach dem Verkauf eines Teils aufgeteilt wird.“
Dieser Plan verwendet Zahlenmengen, die als bekannt sind Pythagoreische Tripel um genaue rechte Winkel oder Zahlensätze abzuleiten, die zu trigonometrischen Modellen zur Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks passen. Dies mache den Zeitpunkt des Artefakts besonders interessant, mit wichtigen Implikationen für die Geschichte der Mathematik, bemerkte Mansfield.
Die Entdeckung wird in a beschrieben neues Papier Das analysiert den Kontext dieser Tafel mit jüngsten Erkenntnissen über eine Tafel aus der Zeit von Si.427, bekannt als Plimpton 322. Im Jahr 2017 enthüllten Mansfield und Kollegen, dass es sich um Plimpton 322 handelte eine frühe trigonometrische Tabelle , zeigt eine ganze Liste pythagoräischer Tripel.
Zu diesem Zeitpunkt wussten die Forscher nicht, welchen Zweck diese Liste haben könnte. Nun gehen sie davon aus, dass es etwas später als Si.427 entstanden sein könnte und nur pythagoräische Tripel enthalten könnte, die für rechteckige Messungen des Bodens relevant wären. Mit anderen Worten: Es handelt sich um ein Planungshandbuch.
Dies steht im Gegensatz zur Trigonometrie von Pythagoras, die im zweiten Jahrhundert v. Chr. durch die Betrachtung der Sterne am Himmel entwickelt wurde. Die Zahl der pythagoreischen Tripel, die von babylonischen Landvermessern für Landvermessungen verwendet werden können, ist sehr gering.
Ein pythagoreisches Tripel passt zur Gleichung a 2 + b 2 = c 2 , wobei die Seiten, die ein Dreieck definieren und an den rechten Winkel angrenzen, a und b sind und die Hypotenuse (die längste Seite) c ist. Das einfachste Beispiel wäre 3 2 + 4 2 = 5 2 .
Animation, die das einfachste Beispiel pythagoräischer Tripel zeigt. (AmericanXplorer13/Wikimedia/CC BY-SA 3.0)
Mit diesen Zahlensätzen können Dreiecke und Rechtecke mit perfekten rechten Winkeln gezeichnet werden. Aber das sexagesimale oder zur Basis 60 zählende babylonische Zahlensystem machte es schwierig, mit Primzahlen größer als 5 zu arbeiten.
„Dies wirft ein ganz besonderes Problem auf – ihr einzigartiges Zahlensystem zur Basis 60 bedeutet, dass nur einige pythagoräische Formen verwendet werden können.“ sagte Mansfield .
„Es scheint, dass der Autor von Plimpton 322 alle diese pythagoräischen Formen durchgegangen ist, um diese nützlichen zu finden.“ Dieses tiefe und hochgradig numerische Verständnis der praktischen Verwendung von Rechtecken verdient den Namen „Prototrigonometrie“, unterscheidet sich jedoch völlig von unserer modernen Trigonometrie mit Sin, Cos und Tan.
Jetzt, mit Si.427, wissen wir endlich, wofür sie diese pythagoräischen Tripel verwenden wollten – laut Mansfield die Festlegung von Landgrenzen.
„Dies stammt aus einer Zeit, in der Land anfängt, privat zu werden – die Menschen begannen, über Land in Begriffen wie ‚mein Land und Ihr Land‘ nachzudenken und wollten eine angemessene Grenze festlegen, um positive nachbarschaftliche Beziehungen zu haben.“ er erklärte .
„Und das sagt diese Tafel sofort.“ „Es ist ein Feld, das gespalten wird und neue Grenzen gezogen werden.“
Andere Tafeln aus dieser Zeit verraten, warum dies so wichtig war. Die eine betrifft einen Streit um Dattelpalmen an der Grenze zwischen zwei Grundstücken, bei dem der örtliche Verwalter zugestimmt hatte, einen Gutachter zu entsenden, um die Angelegenheit zu regeln. Es ist leicht zu erkennen, warum die Fähigkeit zur genauen Abmessung von Grundstücken wichtig gewesen sein könnte.
Dennoch zeigt es ein ausgefeiltes Verständnis der Geometrie. Sie war vielleicht nicht so fortgeschritten wie die später von den alten Griechen beschriebene Trigonometrie, aber sie deutet darauf hin, dass unser Verständnis der Mathematik möglicherweise inkrementeller war, als uns die aktuellen historischen Erkenntnisse zeigen.
„Niemand hätte erwartet, dass die Babylonier pythagoreische Tripel auf diese Weise verwendeten“ sagte Mansfield . „Es ähnelt eher der reinen Mathematik, inspiriert von den praktischen Problemen der Zeit.“
Die Forschung wurde veröffentlicht in Grundlagen der Wissenschaft .